Poprzedni artykuł dotyczył odsetek prostych. Dzisiejszy artykuł będzie poświęcony rachunku procentowemu „od sta” i „w stu”. Zostaną przedstawione konkretne przykłady, abyś lepiej zrozumiał dane zagadnie i w razie potrzeby mógł wykorzystać daną wiedzę w rzeczywistości. Wiedza na pewno będzie użyteczna i pomoże Ci przy podejmowaniu dobrych finansowych decyzji.
Stopa procentowa jest ilorazem dwóch bezwzględnych wielkości, a więc wskaźnik procentowy jest wielkością względną będącą ilorazem części do całości. Część całości, czyli suma procentowa (P), jest wielkością, którą się porównuje do całości, czyli podstawy procentowej (K), która odpowiada 100%.
W zależności od potrzeb w rachunku procentowym są wykorzystywane jeden z trzech poniższych wzorów:
r – stopa procentowa
P – suma procentowa (część całości)
K – podstawa procentowa (całość)
Podstawa procentowa może być:
-podstawą zwykłą (K), czyli procentowym równoważnikiem jest 100%
-podstawą zwiększoną (W), czyli procentowym równoważnikiem jest (100 + r)%
-podstawą zmniejszoną (M), czyli procentowym równoważnikiem jest (100 – r)%
Obliczenia procentowe wykonywane:
-przy podstawie zwykłej lub zwiększonej określane są mianem rachunku „od sta”
-przy podstawie zmniejszonej określone są mianem rachunku „w stu”
Aby lepiej zrozumieć powyższe zagadnie lepiej posłuży się prostymi przykładami z bieżącym wyjaśnieniem.
Przykłada 1.1
(rachunek „od sta”)
Załóżmy, że moja firma dokonała zakupu materiałów na kwotę 15 000 zł. W danej kwocie jest naliczony podatek VAT (Value Added Tax), czyli podatek od towarów i usług, którego stawka wynosi 23%. Należy policzyć VAT naliczony oraz kwotę, od której dany podatek został naliczony.
Dane:
W – podstawa zwiększona 15 000 zł zakupione materiał
r – Podatek VAT 23%
Rozwiązanie:
W danym przykładzie kwota 15 000 zł jest „podstawą zwiększoną (W)”, ponieważ składa się z sumy kwoty podstawowej „podstawa zwykła (K)” oraz podatku VAT „suma procentowa (P)”.
Dla wyliczenia kwoty podstawowej, czyli podstawy zwykłej należy wykorzystać poniższą formułę:
K – podstawa zwykła, czyli 100%
W – podstawa zwiększona, czyli (100 + r)%
r – stopa procentowa
Dla wyliczenia podatku, czyli sumy procentowej należy wykorzystać poniższą formułę:
P – suma procentowa
W – podstawa zwiększona, czyli (100 + r)%
r – stopa procentowa
Na początku wyliczyłem podstawę zwykłą (K), która wynosi 12 195,12 zł, czyli kwotę, od której został naliczony podatek VAT. Następnie wyliczyłem sumę procentową (P), która wynosi 2 804,88 zł, czyli należny podatek VAT.
Aby sprawdzić poprawność wyliczenia danego zadania należy wykorzystać jedną z poniższych formuł:
W – podstawa zwiększona, czyli (100 + r)%
K – podstawa zwykła, czyli 100%
P – suma procentowa
r – stopa procentowa
Po podstawieniu znalezionych danych do powyższych formuł otrzymałem wynik, który wskazuje, że dane zadanie jest prawidłowo wykonane.
Przykład 1.2
(rachunek „od sta”)
Załóżmy, że zajmuję się sprzedażą elektronicznego sprzętu i zauważyłem zwiększone zapotrzebowanie na towar A przez moich konsumentów. Postanowiłem zwiększyć obecną cenę o 5%. Po zwiększeniu ceny towar A kosztuje już 2000 zł. Należy policzyć poprzednią cenę oraz kwotę podwyżki.
Dane:
r – podwyżka ceny towaru o 5%
W – podstawa zwiększona 2 000 zł nowa cena towaru
Rozwiązanie:
W danym przykładzie cena 2 000 zł jest „podstawą zwiększoną (W)”,ponieważ składa się z sumy ceny podstawowej „podstawa zwykła (K)”oraz kwoty podwyżki „suma procentowa (P”).
Dla wyliczenia kwoty podstawowej, czyli podstawy zwykłej należy wykorzystać poniższą formułę:
K – podstawa zwykła, czyli 100%
W – podstawa zwiększona, czyli (100 + r)%
r – stopa procentowa
Dla wyliczenia podatku, czyli sumy procentowej należy wykorzystać poniższą formułę:
P – suma procentowa
W – podstawa zwiększona, czyli (100 + r)%
r – stopa procentowa
Na początku wyliczyłem podstawę zwykłą (K), która wynosi 1 904,76 zł, czyli to cena, która była początkowo przed podwyżką cen. Następnie wyliczyłem sumę procentową (P), która wynosi 95,24 zł, czyli to kwota podwyżki.
Aby sprawdzić poprawność wyliczenia danego zadania należy wykorzystać jedną z poniższych formuł:
lub
W – podstawa zwiększona, czyli (100 + r)%
K – podstawa zwykła, czyli 100%
P – suma procentowa
r – stopa procentowa
Po podstawieniu znalezionych danych do powyższych formuł otrzymałem wynik, który wskazuje, że dane zadanie jest prawidłowo wykonane.
Przykład 1.3
(rachunek w „w stu”)
Załóżmy, że przy zakupie pralki otrzymałem zniżkę w wysokości 10%. Zapłaciłem za pralkę po zniżce 1200 zł. Należy wyliczyć kwotę zniżki oraz cenę, która była przed zniżką.
Dane:
M – podstawa zmniejszona 1200 zł cena pralki po obniżeniu ceny
r – zniżka 10%
Rozwiązanie:
W danym przykładzie cena pralki 1200 zł jest „podstawą zmniejszoną (M)”, ponieważ składa się z ceny podstawowej „podstawa zwykła (K)”, od której jest odejmowana kwota zniżki „suma procentowa (P)”.
Dla wyliczenia ceny podstawowej, czyli podstawy zwykłej należy wykorzystać poniższą formułę:
K – podstawa zwykła, czyli 100%
M – podstawa zmniejszona, czyli (100 – r)%
r – stopa procentowa
Dla wyliczenia kwoty zniżki, czyli sumy procentowej należy wykorzystać poniższą formułę:
P – suma procentowa
M – podstawa zmniejszona, czyli (100 – r)%
r – stopa procentowa
Na początku wyliczyłem podstawę zwykłą (K), która wynosi 1 333,33 zł, czyli to cena, która była początkowo przed obniżką ceny. Następnie wyliczyłem sumę procentową (P), która wynosi 133,33 zł, czyli to kwota zniżki.
Aby sprawdzić poprawność wyliczenia danego zadania należy wykorzystać jedną z poniższych formuł:
lub
M – podstawa zmniejszona, czyli (100 – r)%
K – podstawa zwykła, czyli 100%
P – suma procentowa
r – stopa procentowa
Po podstawieniu znalezionych danych do powyższych formuł otrzymałem wynik, który wskazuje, że dane zadanie jest prawidłowo wykonane.
Rachunek „w stu” jest również wykorzystywany przy doliczaniu podatku akcyzowego. Podstawą dla obliczenia podatku akcyzowego jest ceny sprzedaży netto. Podatkiem akcyzowym objęte są wyroby przemysłu spirytusowego, paliwa do silników, wyroby tytoniowe itd.
Przykład 1.4
(podatek akcyzowy – rachunek „w stu”)
Załóżmy, że moja firma zajmuje się sprzedażą napojów alkoholowych, których koszt wytworzenia jednostki wynosi 25 zł. W cenę sprzedaży jest wliczony zysk, który wynosi 20% w stosunku do kosztu wytworzenia jednostki. Stopa procentowa podatku akcyzowegowynosi 60%. Należy policzyć cenę sprzedaży netto oraz kwotę podatku akcyzowy.
Dane:
Kw – koszt wytworzenia jednostki 25 zł
– zysk 20% w stosunku do kosztu wytworzenia jednostki
– stopa procentowa podatku akcyzowy 60%
Rozwiązanie:
Na początku możemy wyliczyć w bardzo prosty sposób kwotową wartość zysku, ponieważ wiemy, że zysk stanowi 20% w stosunku do kosztu wytworzenia jednostki wyrobu akcyzowego, a więc wynik jest następujący:
z – kwotowa wartość zysku wliczona w cenę sprzedaży
Kw – koszt wytworzenia jednostki
– stopa zysku od kosztu wytworzenia jednostki
Doliczając 20% zysku do jednostkowego kosztu wytworzenia otrzymamy cenę sprzedaży, którą należy traktować, jako podstawę zmniejszoną (M), wyliczając poprzez poniższą formułę:
M – podstawa zmniejszona, czyli (100 – r)%
Kw – koszt wytworzenia jednostki
z – kwotowa wartość zysku wliczona w cenę sprzedaży
Doliczając 20% zysku do jednostkowego kosztu wytworzenia otrzymamy cenę sprzedaży, którą należy traktować, jako podstawę zmniejszoną (M), ponieważ w następnym kroku będziemy liczyć podstawę zwykłą (K), czyli cenę sprzedaży netto przy uwzględnieniu stopy procentowej podatku akcyzowego poprzez poniższą formułę:
Cs – cena sprzedaży netto (podstawa zwykła 100%)
M – podstawa zmniejszona, czyli (100 – r)%
– stopa procentowa podatku akcyzowego
Powyższe wyliczenie można sprowadzić do jednej formuły dla oszacowania ceny sprzedaży netto:
Cs – cena sprzedaży netto (podstawa zwykła 100%)
Kw – koszt wytworzenia jednostki
– stopa zysku od kosztu wytworzenia jednostki
– stopa procentowa podatku akcyzowego
Z powyższych wyliczeń wynika, że przy zmodyfikowanej formule będziemy mieli taki sam wynik ceny sprzedaży netto – 75 zł. Chciałem pokazać bardziej szczegółowo cały proces wyliczenie.
Po wyliczeniu podstawy opodatkowania, czyli ceny sprzedaży netto mamy możliwość wyliczenia kwotę podatku akcyzowego na podstawie poniższej formuły:
Pa – kwota podatku akcyzowego
Cs – cena sprzedaży netto
– stopa procentowa podatku akcyzowego
Przykład 1.5
(rachunek „w stu”)
Załóżmy, że moja firma produkuje zabawki dla dzieci. Koszt wytworzenie jednej zabawki wynosi 60 zł. Przy sprzedaży zabawek chcę udzielać dla konsumenta zniżkę 6% i dodatkowo 3% upustgatunkowego osiągając zysk 15% w stosunku do kosztu wytworzenia jednostki. Jaka powinna być końcowa cena sprzedaży?
Dane:
Kw – koszt wytworzenia jednostki 60 zł
– zysk 15 (%) w stosunku do kosztu wytworzenia jednostki
r1 – stopa procentowa zniżki 6%
r2 – stopa procentowa upustu 3%
Rozwiązanie:
Na początku możemy wyliczyć w bardzo prosty sposób kwotową wartość zysku, ponieważ wiemy, że zysk stanowi 15% w stosunku do kosztu wytworzenia jednostki, a więc wynik jest następujący:
z – kwotowa wartość zysku wliczona w cenę sprzedaży
Kw – koszt wytworzenia jednostki
– stopa zysku od kosztu wytworzenia jednostki
Doliczając 15% zysku do jednostkowego kosztu wytworzenia otrzymamy cenę sprzedaży, którą należy traktować, jako podstawę zmniejszoną (M), wyliczając poprzez poniższą formułę:
M – podstawa zmniejszona, czyli (100 – r)%
Kw – koszt wytworzenia jednostki
z – kwotowa wartość zysku wliczona w cenę sprzedaży
Dodając 15% zysku do jednostkowego kosztu wytworzenia otrzymamy cenę sprzedaży, którą należy traktować, jako podstawę zmniejszoną (M), ponieważ w następnym kroku będziemy liczyć podstawę zwykłą (K), czyli końcową cenę sprzedaży przy uwzględnieniu zniżki i upustu.
Teraz należy wyliczyć stopę procentową, która będzie obniżać końcową cenę sprzedaży (podstawę zwykłą 100%) na skutek udzielenia zniżki i upustu.
A więc końcowa cena sprzedaży stanowi podstawę zwykłą równą 100%.
Ten sam wynik można było uzyskać następującymi działaniami:
(1 – 0,06)*(1 – 0,03) = 0,9118 =91,18%
Zmiana kolejności naliczenia zniżek i upustów nie ma wpływu na wynik końcowy.
Tak więc, końcowa cena sprzedaży, która stanowi podstawę zwykłą 100%, została dwukrotnie zmniejszona procentowo i stanowi 91,18%= 100% – 6% – 2,82%. Zmniejszenie końcowej ceny sprzedaży, wyrażonej w procentach, jest równe 100% – 93,18% = 6,82%. Ostatecznie zatem zadanie sprowadza się do obliczenia zasady zwykłej mając zasadę zmniejszoną (M) i stopę procentową (r) dotyczącą zmniejszenia końcowej ceny sprzedaży.
K – podstawa zwykła, czyli 100%
M – podstawa zmniejszona, czyli (100 – r)%
r – stopa procentowa
Końcowa cena sprzedaży powinna wynosić 74,05 zł.
Zgodnie z powyższymi danymi końcowa cena sprzedaży zostanie obniżona po zniżkach i upustach o kwotę, która wynika z poniższego obliczenia:
P – suma procentowa
M – podstawa zmniejszona, czyli (100 – r)%
r – stopa procentowa
Aby sprawdzić poprawność wyliczenia danego zadania należy wykorzystać jedną z poniższych formuł:
lub
M – podstawa zmniejszona, czyli (100 – r)%
K – podstawa zwykła, czyli 100%
P – suma procentowa
r – stopa procentowa
Po podstawieniu znalezionych danych do powyższych formuł otrzymałem wynik, który wskazuje, że dane zadanie jest prawidłowo wykonane.
Przykład 1.6
(rachunek „od sta”)
Załóżmy, że obroty sprzedażowe w mojej firmie na początku podniosły się o 20%, następnie podniosły się o 15%, po jakimś czasie zmniejszy o 5%, a następnie zmniejszy się o kolejne 10%. Należy wyliczyć końcowy obrót w stosunku procentowym do pierwotnego obrotu oraz obrót końcowy w postaci kwotowej po wszystkich zwyżkach i spadkach, jeżeli początkowy obrót wynosił 5000 zł.
Dane:
K – Początkowy obrót 5000 (zł)
r1 – wzrost obrotów o 20%
r2 – wzrost obrotów o 15%
r3 – zmniejszenie obrotów o 5%
r4 – zmniejszenie obrotów o 10%
Początkowy obrót 5000 zł stanowi podstawę zwykłą równą 100%.
Ten sam wynik można było otrzymać następującymi działaniami:
(1 + 0,2)*(1 + 0,15)*(1 – 0,05)*(1 – 0,1) = 1,1799 = 117,99%
Zmiana kolejności uwzględnienia podwyżek i zniżek nie ma wpływu na wynik końcowy.
Ostatni obrót stanowi 117,99% obrotu początkowego. Jest on zatem zwiększony w stosunku do pierwotnego. Aby wyrazić obrót końcowy w kwocie pieniężnej należy wykorzystać formułę na obliczenie podstawy zwiększonej (W) w rachunku procentów „od sta”, jak zostało wyliczono poniżej:
W – podstawa zwiększona, czyli (100 + r)%
K – podstawa zwykła, czyli 100%
r – stopa procentowa
Dla ciekawości możemy wyliczyć nadwyżkę obrotową, czyli sumę procentową (P), która otrzymaliśmy po wszystkich wzrostach i spadkach poprzez poniższą formułę:
P – suma procentowa
W – podstawa zwiększona, czyli (100 + r)%
r – stopa procentowa
Aby sprawdzić poprawność wyliczenia danego zadania należy wykorzystać jedną z poniższych formuł:
lub
W – podstawa zwiększona, czyli (100 + r)%
K – podstawa zwykła, czyli 100%
P – suma procentowa
r – stopa procentowa
Po podstawieniu znalezionych danych do powyższych formuł otrzymałem wynik, który wskazuje, że dane zadanie jest prawidłowo wykonane.
Rachunek procentowy „od sta” i „w stu” również jest wykorzystywany w bankowości.
Przykład 1.7
(rachunek „od sta” i „w stu”)
Załóżmy ulokowałem w banku 5000 zł na okres 60 dni przy oprocentowaniu 5% rocznie. Trzeba wyliczyć przyszłą wartość kapitału przy założeniu, że bank nalicza odsetki od wartości początkowej, czyli dotyczy rachunku „od sta”. A następnie policzyć przyszłą wartość kapitału przy założeniu, że bank nalicza odsetki od wartości końcowej, czyli rachunek „w stu”. Zakładamy, że bank przyjmuje parametr T = 360 dni.
Dane:
Ko – wartość początkowa kapitału 5000 zł
r – roczna stopa procentowa 5%
t – Okres lokowania 60 dni
T – 360 dni
Część 1 zadania 1.7 „od sta”
Wartość przyszła kapitału przy rachunku „od sta” równa się:
Kn – wartość przyszła (wartość końcowa)
Ko – wartość początkowa kapitału
r – nominalna stopa procentowa za jeden okres bazowy (np. rok)
t – czas wykorzystania kapitał (np. liczba dni oprocentowania)
T – liczba dni w roku (np. najczęściej 360 dni)
Wartość odsetek przy rachunku „od sta” równa się:
O – kwota odsetek
Ko – wartość początkowa kapitału
r – nominalna stopa procentowa za jeden okres bazowy (np. rok)
t – czas wykorzystania kapitał (np. liczba dni oprocentowania)
T – liczba dni w roku (np. najczęściej 360 dni)
Aby sprawdzić poprawność wyliczenia danego zadania należy wykorzystać formułę:
Kn – wartość przyszła (wartość końcowa)
O – kwota odsetek
Ko – wartość początkowa kapitału
Po podstawieniu znalezionych danych do powyższej formuły otrzymałem wynik, który wskazuje, że pierwsza część zadania jest prawidłowo wykonane.
Część 2 zadania 1.7 „w stu”
Wartość przyszła kapitału przy rachunku „w stu” równa się:
Kn – wartość przyszła (podstawa zwykła (K), czyli 100%)
Ko – wartość początkowa kapitału (podstawa zmniejszona (M), czyli (100 – r)%
r – nominalna stopa procentowa za jeden okres bazowy (np. rok)
t – czas wykorzystania kapitał (np. liczba dni oprocentowania)
T – liczba dni w roku (np. najczęściej 360 dni)
Dla wyliczenia odsetek wykorzystując rachunek „w stu” formuła wygląda następująco:
O – kwota odsetkowa (suma procentowa (P)
Ko – wartość początkowa kapitału (podstawa zmniejszona (M), czyli (100 – r)%
r – nominalna stopa procentowa za jeden okres bazowy (np. rok)
t – czas wykorzystania kapitał (np. liczba dni oprocentowania)
T – liczba dni w roku (np. najczęściej 360 dni)
Aby sprawdzić poprawność wyliczenia danego zadania należy wykorzystać jedną z poniższych formuł:
lub
Ko – wartość początkowa kapitału (podstawa zmniejszona (M), czyli (100 – r)%
Kn – wartość przyszła (podstawa zwykła (K), czyli 100%)
O – kwota odsetkowa (suma procentowa (P)
Po podstawieniu znalezionych danych do powyższych formuł otrzymałem wynik, który wskazuje, że druga część zadania jest prawidłowo wykonane.
Przykład 1.8
(rachunek „od sta”)
Załóżmy, że po ukończeniu lokaty, która trwała 5 miesięcy, otrzymałem kapitał razem z odsetkami w wysokości 1200 zł. Roczna stopa procentowa wynosiła 15%. Należy wyliczyć kwotę odsetek oraz wartość początkową kapitału.
Dane:
W – podstawa zwiększona 1200 zł
t – czas trwania lokaty 5 miesięcy
r – nominalna roczna stopa procentowa 15%
Rozwiązanie:
W danym przykładzie wartość kapitału, którą otrzymał po ukończeniu lokaty w wysokości 1200 zł jest „podstawą zwiększoną (W)”, ponieważ składa się z sumy kwoty początkowej „podstawa zwykła (K)” i kwoty odsetek „suma procentowa (P)”.
Na początku trzeba przekształcić roczną stopę procentową w stopę dostosowaną do okresu ulokowania kapitału, czyli do 5 miesięcy.
– stopa dostosowana do okresu lokowania kapitału
r – nominalna roczna stopa procentowa
t – czas trwania lokaty w miesiącach
T – ilość miesięcy w roku
Dla wyliczenia wartości odsetek, czyli podstawy zwykłej należy wykorzystać poniższą formułę:
K – podstawa zwykła, czyli 100%
W – podstawa zwiększona, czyli (100 + r)%
– stopa dostosowana do okresu lokowania kapitału
Dla wyliczenia kwoty odsetek, czyli sumy procentowej należy wykorzystać poniższą formułę:
K – podstawa zwykła, czyli 100%
W – podstawa zwiększona, czyli (100 + r)%
– stopa dostosowana do okresu lokowania kapitału
Aby sprawdzić poprawność wyliczenia danego zadania należy wykorzystać jedną z poniższych formuł:
lub
W – podstawa zwiększona, czyli (100 + r)%
K – podstawa zwykła, czyli 100%
P – suma procentowa
– stopa dostosowana do okresu lokowania kapitału
Po podstawieniu znalezionych danych do powyższych formuł otrzymałem wynik, który wskazuje, że dane zadanie jest prawidłowo wykonane.
Mam nadzieje że wszystko było jasne. Jeżeli są jakieś pytania to proszę zadawać w komentarzach.
Dziękuję za wsparcie i życzę miłego dnia 🙂
