Strona główna Matematyka finansowa Odsetki proste

Matematyka finansowa

Odsetki proste

Przez

28 października 2016

7130

Dzisiejszy artykuł będzie poświęcony rachunku odsetek prostych. Zostaną przedstawione konkretne przykłady, abyś lepiej zrozumiał dane zagadnie i w razie potrzeby mógł wykorzystać daną wiedzę w rzeczywistości. Wiedza na pewno będzie użyteczna i pomoże Ci przy podejmowaniu dobrych finansowych decyzji.

Rachunek odsetek prostych wykorzystywany przy rozliczeniu krótkoterminowym, poniżej jednego roku. Odsetki są naliczane tylkona wartość początkową.

Najczęściej odsetki proste wykorzystywane przy:

alokacji środków na krótkoterminowych lokatach bankowych;
udzieleniu krótkoterminowych pożyczek;
transakcjach handlowych z odroczoną płatnością.

Dla wyliczenia odsetek prostych należy wykorzystać poniższą formułę:

O – kwota odsetek
Ko – wartość początkowa kapitału
r – nominalna roczna stopa procentowa
t – długość naliczenia odsetek (np. liczba dni oprocentowania)
T – liczba jednostek czasowych w roku (np. najczęściej 360 dni)

Parametr (t), czyli czas wykorzystania kapitału może być mierzony w różnych jednostkach: dniach, tygodniach, miesiącach, kwartałach, półroczach itd. W zależności od wybranego miernika (t), parametr (T) przyjmuje następującą postać:

T = 360 jeżeli parametr (t) jest mierzony w dniach. Przyjmuje się dla uproszczenia, że w rok ma 360 dni.
T = 52 jeżeli parametr (t) jest mierzony w tygodniach. Rok zawiera 52 tygodni.
T = 12 jeżeli parametr (t) jest mierzony w miesiącach. Rok zawiera 12 miesięcy.
T = 4 jeżeli parametr (t) jest mierzony w kwartałach. Rok zawiera 4 kwartały, bo każdy kwartał składa się z 3 miesięcy.
T = 2 jeżeli parametr (t) jest mierzony w półroczach. Rok zamiera 2 półrocza, bo każde półrocze składa się z 6 miesięcy.

Najczęściej dla obliczenia odsetek bierze się czas oprocentowania mierzony w dniach oraz dla uproszczenia przyjmuje się, że rok składa się z 360 dni, czyli niezależnie od kalendarza każdy miesiąc zawiera 30 dni. Wtedy jest o wiele łatwiej wyliczyć liczbę dni naliczenia odsetek, czyli parametr (t). Dla obliczenia czasu wykorzystania kapitału należy odjąć datę wcześniejszą od daty późniejszej według poniżej formuły.

t – długość naliczenia odsetek
– data późniejsza
– data wcześniejsza

Dodatkowym uproszczeniem dla wyliczenie (t) liczby dni naliczenia odsetek jest wykorzystanie specjalnej Tablicy 1, która została zamieszczona w Przykładzie 1.1, abyś lepiej zrozumiał dane zagadnienie.

Przykład 1.1

Załóżmy, że ulokowałem swój kapitał w banku 20.IV (data wcześniejsza), a wycofałem 15.IX (data późniejsza) tego samego roku. Należy wyliczyć za pomocą Tablicy 1 – liczbę dni naliczenia oprocentowania, czyli parametr t.

Tablica 1. Tablica do obliczenia liczby dni naliczenia odsetek przy T=360

Z powyższej tablicy można odczytać, że data wcześniejsza 20.IV jest 110 dniem roku, natomiast data późniejsza 15.IX jest 255 dniem roku.

Podstawiając powyższe dane do formuły dla wyliczenia liczby dni naliczenia odsetek otrzymamy poniższy wynik:

t – długość naliczenia odsetek
– data późniejsza
– data wcześniejsza

Z powyższego wyliczenia wynika, że przez 145 dni były naliczane mi odsetki przez bank.

Ważna informacja do zapamiętania:
Przy obliczeniu odsetek prostych należy pamiętać o tym, że nominalna stopa procentowa (r) i czas wykorzystania kapitału (t) muszą być wyrażone w tym samym układzie. Np. jeżeli czas wykorzystywania kapitału jest mierzony w dniach to poziom stopy procentowej również musi dotyczyć dnia. A więc stopa procentowa, która dotyczy określonego okresu (np. dnia) jest nazywana stopą dostosowaną:

– stopa dostosowana do długości naliczenia odsetek t
– stopa dostosowana do liczby jednostki czasowej w roku T
r – nominalna roczna stopa procentowa
t – długość naliczenia odsetek
T – liczba jednostek czasowych w roku (np. najczęściej 360 dni)

Przykład 1.2

Załóżmy, że 11.III ulokowałem w banku 2 000 zł do 20.XI tego samego roku. Bank nalicza odsetki według rachunku odsetek prostychw wysokości 9% w skali roku. Należy obliczyć wysokość odsetek, które otrzymam po ukończeniu trwania lokaty przy założeniu, że bank przyjmuje parametr T = 360 dni.

Dane:
Ko – wartość początkowa 2 000 zł
r – roczna stopa procentowa 9 %
– data wcześniejsza 11.III
– data późniejsza 20.XI
T – liczba jednostek czasowych w roku 360 dni

Rozwiązanie:
Dla rozwiązanie przykładu należy wykorzystać wcześniej podaną formułę na wyliczenie odsetek:

W powyższej formule brakuje tylko jednego parametru (t) – liczba dni naliczenia odsetek. Dany parametr możemy szybkom wyliczyć za pomocą specjalnej Tablicy_1.

Z powyższej tablicy można odczytać, że data wcześniejsza 11.III jest 71 dniem roku, natomiast data późniejsza 20.XI jest 320 dniem roku. Podstawiając powyższe dane do formuły dla wyliczenia (t) liczby dni naliczenia odsetek otrzymamy poniższy wynik:

t – długość naliczenia odsetek
– data późniejsza
– data wcześniejsza

Z powyższego wyliczenia wynika, że przez 249 dni będą naliczane odsetki przez bank. Teraz wyliczony parametr możemy podstawić do głównej formuły, którą trochę zmodyfikowałem, aby było dobrze widać całe rozwiązanie zadania:

Z powyższego wyliczenia wynika, że po ukończeniu trwania lokaty bank mi nalicza odsetki w wysokości 124,49 zł. Proszę zwrócić uwagę, że zachowuje się jednakowy układ odniesienia dwóch parametrów r i t, ponieważ w formule widać, że oprocentowanie przekształcone na dzienną stawkę, czyli jest równe:

– stopa dostosowana do liczby jednostki czasowej w roku T
r – nominalna roczna stopa procentowa
T – liczba jednostek czasowych w roku (np. najczęściej 360 dni)

Przykład 1.3

Załóżmy, że mi udzielono pożyczki w wysokości 1500 zł na okres 3 miesięcy. Z pożyczkodawcą omówiliśmy, że za udzieloną pożyczkę zapłacę odsetki w wysokości 2% za każdy miesiąc. Trzeba policzyć kwotę, którą będę musiał oddać po upływie 3 miesięcy.

Dane:
Ko – wartość początkowa 1 500 zł
– stopa dostosowana do długości naliczenia odsetek 2 % w ujęciu miesięcznym
t – długość naliczenia odsetek 3 miesiąca w ujęciu miesięcznym

Rozwiązanie:
Dla rozwiązania przykładu należy wykorzystać wcześniej podaną formule na wyliczenie odsetek w małą modyfikacją, ponieważ zachowuje się jednakowy układ odniesienia dwóch parametrów r i t, czyli w ujęciu miesięcznym.

O – kwota odsetek
Ko – wartość początkowa kapitału
– stopa dostosowana do długości naliczenia odsetek t
t – długość naliczenia odsetek (np. liczba dni oprocentowania)
T – liczba jednostek czasowych w roku (np. najczęściej 360 dni)

Z powyższego wyliczenia wynika, że po upływie 3 miesięcy będę musiał zapłacić udzieloną pożyczkę oraz należne odsetki w wysokości 90 zł, a więc w sumie do zapłaty będzie 1 590 zł.

Przykład 1.4

Załóżmy, że ulokowałem w banku 3000 zł na okres 3 miesięcy przy oprocentowaniu 15% w skali roku. Trzeba wyliczyć kwotę odsetek, którą otrzymam po upływie 3 miesięcy wykorzystując mierzenia czasu w różnych jednostkach: dniach, miesiącach, kwartałach.

Dane:
Ko – wartość początkowa 3 000 zł
r – roczna stopa procentowa 15 %
t – czas wykorzystania kapitału 3 miesiąca

Rozwiązanie:

Jeżeli parametr (t) jest mierzony w dniach, to wtedy T = 360 (dni), a t = 90 (dni), bo przy uproszczonych założeniach 3 miesiąca składają się z 90 dni. Podstawiając do formuły przekształcone dane będziemy mieli:

Proszę zwrócić uwagę na to, że zachowuje się jednakowy układ odniesienia dwóch parametrów r i t, ponieważ w formule widać, że oprocentowanie przekształcone na dzienną stawkę, czyli jest równe:

– stopa dostosowana do liczby jednostki czasowej w roku T
r – nominalna roczna stopa procentowa
T – liczba jednostek czasowych w roku (np. najczęściej 360 dni)

Jeżeli parametr (t) jest mierzony w miesiącach, to wtedy T = 12 (miesięcy), a t = 3 (miesięcy). Podstawiając dane do formuły będziemy mieli:

Proszę zwrócić uwagę na to, że zachowuje się jednakowy układ odniesienia dwóch parametrów r i t, ponieważ w formule widać, że oprocentowanie przekształcone na miesięczną stawkę, czyli jest równe:

Jeżeli parametr (t) jest mierzony w kwartałach, to wtedy T = 4 (kwartały), a t = 1 (kwartał), bo jeden kwartał składa się z 3 miesięcy. Podstawiając do formuły przekształcone dane będziemy mieli:

Proszę zwrócić uwagę na to, że zachowuje się jednakowy układ odniesienia dwóch parametrów r i t, ponieważ w formule widać, że oprocentowanie przekształcone na kwartalną stawkę, czyli jest równe:

Na pewno zauważyłeś, że przy wykorzystaniu czasu w różnych jednostkach (dniach, miesiącach, kwartałach) otrzymywaliśmy ten sam wynik odsetek w wysokości 112,5 zł.

Jeżeli jesteś osobą przedsiębiorczą to często spotykasz się z nietypowymi sytuacjami, w których musisz szybko podejmować decyzje, żeby w przyszłości nie ponieść zbędnych wydatków. To wymaga od przedsiębiorców umiejętność szacowania opłacalności transakcji, w szczególności przy kredycie kupieckim z odroczonym terminem płatności. Ten typ transakcji dość często wykorzystany na rynku, co powoduje wzajemne kredytowania się kontrahentów. W danych umowach często jest zawarta klauzula, która umożliwia odbiorcy do potrącenia jego zobowiązania wobec kontrahenta o pewną kwotę należnych odsetek przy warunku ich szybkiego uregulowania. Takie potrącenie nosi nazwę – skonta.

Przykład 1.5 (kredyt kupiecki)

Załóżmy, ze ja prowadzę firmę i dostałem do zapłaty 2 faktury za zakup materiałów. Faktura 1 ma 30-dniowy termin płatności oraz możliwość uzyskania 2% skonta, jeżeli faktura zostanie uregulowana w ciągu 7 dni. Faktura 2 ma 60-dniowy termin płatności oraz możliwość uzyskania 3% skonta, jeżeli faktura zostanie uregulowana w ciągu 3 dni. Dla tego, żeby móc skorzystać z oferowanych przez dostawcę upustów, trzeba będzie skorzystać z limitu kredytowego na rachunku bieżącym, który jest oprocentowany 23% w skali roku. Trzeba oszacować, na które warunki płatności muszę zdecydować, żeby było opłacalne dla mnie.

Dane:
Koszt za korzystanie z limitu kredytowego – 23% w skali roku
Faktura 1:
Termin płatności w ciągu 30 dni
Skonto – 2% przy uregulowaniu faktury w ciągu 7 dni
Faktura 2:
Termin płatności w ciągu 60 dni
Skonto – 3% przy uregulowaniu faktury w ciągu 3 dni

Rozwiązanie:

Należy obliczyć odsetki, czyli koszt kredytu handlowego w skali rocznej, które dotyczą odroczonej płatności dla obu faktur. Dla wyliczenia kosztu handlowego należy skorzystać z poniższego wzoru:

d – koszt kredyt handlowego w skali rocznej
s – skonto
t – liczba dni odroczenia płatności

Koszt kredytu handlowego dla:
Faktura 1:

Faktura 2:

Ponieważ limit kredytowy jest oprocentowany 23% rocznie, to opłacalne jest wcześniejsze uregulowanie jedynie Faktury 1, bo koszt handlowy jest większy od kosztu kredytowego 31,94% > 23%, bo nam jako przedsiębiorcom zależy, żeby zapłacić mniej niż więcej.

Do takich samych wniosków możemy dojść poprzez analizę kosztów przy pozyskaniu kredytu na zapłatę faktury.

Koszt kredytu bankowego dla:
Faktura 1:
Żeby móc skorzystać z 2% skonta należy zaciągnąć kredyt bankowy w wysokości 980 zł = 1 000*(1 – 0,02) na każde 1000 zł wartości faktury na 23 dni = 30 dni – 7 dni. Koszt kredytu bankowego 23% w skali roku. Wtedy odsetki za ten okres będą wynosić:

980 zł + 14,40 zł = 994,40 zł

Z powyższego wyliczenia wynika że po upływie 23 dni kredytowania opłaca się zaciągnąć kredyt bankowy i uregulować fakturę wcześniej, bo przy kredycie bankowym wydajemy mniej kasy niż przy kredycie handlowym 994,40 zł < 1000 zł.

Faktura 2:
Żeby móc skorzystać z 3% skonta należy zaciągnąć kredyt bankowy w wysokości 970 zł = 1000*(1-0,03) na każde 1000 zł wartości faktury na 57 dni = 60 dni – 3 dni. Koszt kredytu bankowego 23% w skali roku. Wtedy odsetki za ten okres będą wynosić:

970 zł + 35,32 zł = 1005,32 zł

Z powyższego wyliczenia wynika że po upływie 57 dni kredytowania nie opłaca się zaciągnąć kredyt bankowy i uregulować fakturę wcześniej, bo przy kredycie bankowych wydajemy więcej kasy niż przy kredycie handlowym 1005,32 zł > 1000 zł. Lepiej tylko skorzystać z kredytu handlowego i zapłacić ją po upływie 60 dni.

Przykład 1.6

Załóżmy, że ulokowałem w banku kapitał na 3 miesięcy przy oprocentowaniu 10% rocznie. Po ukończeniu trwania lokaty otrzymałem 100 zł zysku w postaci odsetek. Zadanie polega na tym, aby wyszukać wartość początkową, od której zostały naliczone odsetki.

Dane:
t – czas trwania lokaty 3 miesięcy
r – nominalna roczna stopa procentowa 10%
O – kwota odsetek 100 zł

Rozwiązanie:
Żeby znaleźć wartość początkową (Ko) należy dokonać małego przekształcenia formuły na wyliczenie kwoty odsetek:

O – kwota odsetek
Ko – wartość początkowa kapitału
r – nominalna stopa procentowa za jeden okres bazowy
t – czas wykorzystania kapitał (w miesiącach)
T – liczba miesięcy w roku

Na podstawie powyższych wyliczeń wynika, że wartość początkowa, od której zostały naliczone odsetki wynosi 6000 zł.

Przykład 1.7

Załóżmy, że ulokowałem w banku 1000 zł na okres 5 miesięcy. Po ukończeniu lokaty dostałem zysk w postaci odsetek w wysokości 150 zł. Zadanie polega na tym, aby wyznaczyć roczną stopę procentową, oraz stopę dostosowaną, która obowiązywała przy danej lokacie.

Dane:
Ko – wartość początkowa lokaty 1000 zł
t – czas trwania lokaty 5 miesięcy
O – uzyskane odsetki po ukończeniu lokaty 150 z

Rozwiązanie:
Żeby znaleźć roczną stopę procentową (r), należy dokonać małego przekształcenia formuły na wyliczenie kwoty odsetek:

O – kwota odsetek
Ko – wartość początkowa kapitału
r – nominalna stopa procentowa za jeden okres bazowy
– stopa dostosowana do długości naliczenia odsetek t
t – czas wykorzystania kapitał (w miesiącach)
T – liczba miesięcy w roku

Na podstawie powyższych wyliczeń wynika, że roczna stopa procentowa wynosi 36%, a stopa dostosowania, która odpowiada okresu lokowania kapitału wynosi 15%.

Przykład 1.8

Załóżmy, że ulokowałem 1500 zł, a po ukończeniu lokaty dostałem odsetki w wysokości 120 zł. Roczna stopa procentowa przy danej lokacie wynosiła 15%. Na jaki okres zostały ulokowane pieniądze?

Dane:
Ko – wartość początkowa kapitału 1500 zł
O – kwota odsetek uzyskanym po ukończeniu lokaty 120 zł
r – roczna stopa procentowa 15%

Rozwiązanie:
Żeby znaleźć okres (t) lokowania kapitału, należy dokonać małego przekształcenia formuły na wyliczenie kwoty odsetek:

O – kwota odsetek
Ko – wartość początkowa kapitału
r – nominalna stopa procentowa za jeden okres bazowy
t – czas wykorzystania kapitał (w miesiącach)
T – liczba miesięcy w roku

Kapitał został ulokowany na 192 dni.

Mam nadzieje że wszystko było jasne. Jeżeli są jakieś pytania to proszę zadawać w komentarzach.

Dziękuję za wsparcie i życzę miłego dnia 🙂